3. Simetría de los cristales
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Muchas veces nos pasa desapercibido, pero convivimos contínuamente con la simetría ...

La simetría es la constancia, la repetición de algo en el espacio y/o en el tiempo, como muestran los ejemplos de abajo: grecas, pétalos de una flor, las dos partes de una mariposa, la sucesión de noche y dia, una pieza musical, etc.
 
Greca con motivos de repetición monodimensional
Flor con un eje de rotación de orden 8
Flor con un eje de rotación de orden 3
Plano de simetria en la mariposa
Simetría por repetición  de motivos en una greca o en las flores. La greca muestra repetición de motivos por translación. Las flores muestran repetición de motivos mediante giros. La flor de la izquierda muestra, aproximadamente, un eje de rotación de orden 8 ( 8 pétalos idénticos alrededor de un eje de rotación). La flor del centro muestra un eje de rotación de orden 3 (dos familias diferentes de pétalos que se distribuyen alrededor del eje de rotación). Además, en cada flor, cada pétalo muestra un plano de simetría que lo divide en dos partes idénticas (aproximadamente), lo mismo que ocurre con la mariposa que se muestra a la derecha. Si el lector se extraña de que digamos que las dos partes separadas por un plano de simetría (espejo) son sólo "aproximadamente" idénticas, es porque no son superponibles, pero esto es un aspecto que veremos en otro apartado.

Simetría por repetición de eventos: Noche - Día - Noche ...


Simetría en una pieza musical. Fragmento de "Six unisono melodies" de Bartók.
(El pentagrama de abajo representa la simetrización de la partitura de arriba)

La palabra simetría, escrita en inglés (Symmetry) con un cierto cuidado y distorsionando algo las letras, muestra un eje binario (giro de 180º) perpendicular a la pantalla


Esta frase, probablemente conocida por muchos lectores, nos sirve también para ilustrar el concepto de simetría:

Dábale arroz a la zorra el Abad

en donde si olvidamos los acentos y nos quedamos sólo con las letras, se convierte en:

D A B A L E A R R O Z A L A Z O R R A E L A B A D

que se puede leer de derecha a izquierda con el mismo significado que más arriba. Es un caso parecido al de los números "capicúa" (232 ó 679976).

Existen muchas direcciones en donde el lector puede encontrar información sobre el concepto de simetría, de las cuales hemos seleccionado algunas: simetría y forma del espacioincluída en conceptos cristalográficos, con modelos decorativos, en los minerales, e incluso existe una sociedad internacional para el estudio de la simetría.



Los principios fundamentales de la cristalografía morfológica, de los elementos de simetría y su combinación para generar objetos repetitivos en el espacio, fueron establecidos entre los siglos XVII y XIX, tal como se recoge en otro apartado de estas páginas...



Concretándonos a los objetos finitos, existen varias operaciones (elementos de simetría) que describen las repeticiones. En las grecas nos encontramos con operaciones de traslación (el motivo se repite por traslación). La repetición de los pétalos de las flores nos conduce a operaciones de giro (el motivo se repite por giro) alrededor de ejes de simetría y, aunque no exactamente, la simetría que nos muestra la partitura o la frase sobre el Abad nos llevaría a considerar las operaciones denominadas planos de simetría (la operación que ocurre cuando uno se mira en un espejo). Análogamente, por ejemplo, si nos fijamos en la relación entre los objetos tridimensionales de la figura de abajo, descubriremos un  nuevo elemento de simetría denominado centro de simetría, que sería el punto imaginario colocado entre ambos objetos:


Dos objetos relacionados por un centro de simetría


Combinando estos elementos de simetría con las traslaciones características de un cristal (que veremos más abajo), surgen nuevos elementos de simetría con componentes de deslizamiento (ejes helicoidales y planos de deslizamiento). 


Poliedro mostrando un eje de rotación binario que pasa por los centros de las aristas de arriba y abajo





Poliedro mostrando un plano de simetría que relaciona la parte de arriba con la de abajo

Los elementos de simetría del tipo centro y plano, relacionan de un modo peculiar los motivos que repiten, el mismo modo que relaciona entre sí nuestras manos, que no son superponibles. Los motivos que no contienen en sí mismos ninguno de estos elementos de simetría (centro o plano) se denominan quirales y su repetición mediante estos elementos de simetría (centro o plano) genera objetos que se denominan enantiómeros respecto de los originales (la imagen especular de una de nuestras manos es enantiómera de la que ponemos delante del espejo).

La imagen especular de cualquiera de nuestras manos es el enantiómero de la otra mano. Son objetos no superponibles y al no contener en sí mismas ni centros ni planos de simetría se denominan objetos quirales.

Las moléculas quirales tienen propiedades diferentes de sus enantiómeras y su diferenciación es importante. La determinación correcta de la estructura ó configuración absoluta de una molécula (diferenciación entre enantiómeros) puede realizarse de un modo seguro exclusivamente mediante la difracción de rayos X, pero eso será objeto de otro apartado más adelante.

La asociación de elementos de rotación con centros o planos de simetría genera nuevos elementos de simetría llamados rotaciones impropias.





Poliedro que muestra únicamente un centro de simetría en su punto medio

Eje de rotación impropia, en sentido vertical, en un cristal de urea (sobre las tríadas de índices que aparecen en la figura se hablará más adelante)



Asi pues, cualquier objeto finito (como un cristal de cuarzo, una silla, o una flor) muestra determinadas partes de él que se repiten mediante operaciones de simetría, y éstas pasan por un punto del objeto, formando lo que se denomina grupo puntual de simetría del objeto. El lector avanzado tiene la posibilidad de consultar también estas dos magníficas ayudas sobre grupos puntuales que se ofrecen a través de estos enlaces:


Pero para poder seguir hablando de la simetría en los cristales, es necesario en este momento recordar un concepto fundamental relacionado con la repetición por traslación...

La repetición periódica por la que se describe la estructura interna de los cristales viene representada por un conjunto de traslaciones en las tres direcciones del espacio, de tal forma que el cristal puede considerarse como un apilamiento, en tres dimensiones, de bloques idénticos. Cada bloque, de una forma y tamaño determinados (pero todos iguales), se denomina celdilla unidad ó celdilla elemental. Su tamaño viene determinado por la longitud de sus tres aristas (a, b, c), y la forma por el valor de los ángulos entre dichas aristas (alpha, beta, gamma: αβγ).


Apilamiento de celdillas formando un  cristal octaédrico






Parámetros que caracterizan la forma y tamaño de una celdilla elemental (ó celdilla unidad)



En los cristales, los ejes de simetría (ejes de rotación) sólo pueden ser binarios (2), ternarios (3), cuaternarios (4) ó senarios (6), dependiendo del número de repeticiones que se produzcan del motivo (orden de la rotación). Así, un eje de orden 3 (ternario) produce 3 repeticiones del motivo, una cada 360/3=120 grados de giro. Si algún lector se pregunta por qué sólo se mencionan ejes de orden 2, 3, 4 y 6, y por qué no los de orden 5, 7, etc., le recomendamos que consulte las explicaciones que se dan en otro apartado.

Las rotaciones impropias (rotaciones seguidas de reflexión a través de un plano perpendicular al eje de giro) se designan con el número de orden de la rotación, con una barra encima del número.

Los ejes helicoidales(ejes de simetría que implican giro y traslación a lo largo del eje) se representan con el número de orden de la rotación, con un subíndice añadido que cuantifica el deslizamiento a lo largo del eje. Así, un eje helicoidal del tipo 62 representa que en cada una de las 6 rotaciones, la traslación asociada es de 2/6 de la periodicidad en la dirección del eje de la celdilla elemental.

Los planos de simetría (espejos) se representan por la letra m.

Los planos de deslizamiento (planos de simetría que implican reflexión seguida de traslación paralela al plano) se representan por las letras a, b, c, n ó d, dependiendo de que la traslación asociada a la reflexión sea paralela a las traslaciones reticulares (a, b, c) o a una diagonal de un plano reticular (n) ó a una diagonal de la celdilla elemental (d).

Las letras o números que representan a los elementos de simetría tienen también una equivalencia con determinados símbolos gráficos. Dichos símbolos y las operaciones que los elementos de simetría más comunes provocan, pueden ser consultados a través de este enlace.



Tal como hemos dicho más arriba, el conjunto de elementos de simetría de un objeto finito, que pasan por un punto, definen la simetría total del objeto y se denominan grupo puntual de simetría.


Grupos puntuales hay muchos, pero en los cristales han de ser compatibles con la periodicidad (repetitividad por traslación) que los describe internamente. Así, en los cristales no son posibles las rotaciones (ejes de simetría) de orden 5 (un objeto que se repita a sí mismo, mediante giro, 5 veces). Con todo ello, en los cristales nos encontramos con sólo 32 grupos puntuales
posibles, que se denominan clases cristalinas.

grupo puntual . periodicidad por traslación en el cristal = 32 clases cristalinas
Representación gráfica de las 32 clases cristalinas
  

El motivo constituído por un simple ladrillo, que puede representarse por un punto reticular, contiene la simetría puntual 2mm

Los enlaces de esta tabla muestran visualizaciones animadas de sólidos en cada una de las 32 clases cristalinas:
Triclínico 1 1
Monoclínico 2 m 2/m
Ortorrómbico 222 mm2 mmm
Tetragonal 4 4 4/m 422 4mm 42m 4/mmm
Cubico 23 m3 432 43m m3m
Trigonal 3 3 32 3m 3m
Hexagonal 6 6 6/m 622 6mm 6m2 6/mmm
 
Los enlaces de esta tabla muestran visualizaciones animadas de la disposición de los elementos de simetría en cada una de las 32 clases cristalinas (tomado de Marc De Graef):
Triclínico 1 1
Monoclínico 2 m 2/m
Ortorrómbico 222 mm2 mmm
Tetragonal 4 4 4/m 422 4mm 42m 4/mmm
Cubico 23 m3 432 43m m3m
Trigonal 3 3 32 3m 3m
Hexagonal 6 6 6/m 622 6mm 6m2 6/mmm

Adicionalmente se recomienda visitar la simulación sobre la simetría puntual de determinados poliedros platónicos que ofrecen Nicolas Schoeni y Gervais Chapuis de la Ecole Polytechnique Fédéral de Lausanne (Suiza). Si hay problemas con este "applet" se recomienda visitar las indicaciones que se ofrecen en este enlace.



De las 32 clases cristalinas, sólo 11 contienen al operador centro de simetría y a éstas clases cristalinas centrosimétricas se les conoce con el nombre de grupos de Laue.

clase cristalina . centro de simetría = 11 grupos de Laue
Representación gráfica de los 11 grupos de Laue (clases centrosimétricas)

A su vez, en los cristales, las formas de repetición por traslación tienen que ser compatibles con la simetría puntual (las 32 clases cristalinas), de modo que sólo nos encontramos con 14 tipos de redes de traslación que son compatibles con las clases cristalinas. A estos tipos de redes (modos de repetición por traslación) de los cristales se les llama también redes de Bravais (las puedes ver aqui). La simetría traslacional de una distribución ordenada de objetos en 3 dimensiones se puede describir mediante muchos tipos de redes, pero hay una que se adecúa más al objeto, es decir, que describe mejor, a la vez, la simetría propia del objeto. Y es que, como las redes a su vez tienen su propia distribución de elementos de simetría, hay que adecuar éstos a los de la estructura.

periodicidad por traslación en el cristal . 32 clases cristalinas  =  14 redes de Bravais
Representación gráfica de las redes de Bravais

 
Una pared de ladrillos puede estructurarse con diferentes tipos de redes, pasando por diferentes orígenes, definiendo puntos reticulares que representan todo el ladrillo. Pero hay una que es más adecuada a la simetría del ladrillo y a la disposición de éstos al formar la pared.

La adecuación de una red a una estructura se muestra en los ejemplos bidimensionales inferiores, en donde en los tres casos hay dos redes, una primitiva oblícua y otra rectangular centrada. En los dos primeros casos, la red rectangular resulta la más adecuada, mientras que la deformación de la estructura alcanza, en el tercer ejemplo, unas relaciones métricas que hacen que la red más adecuada sea la primitiva oblícua, hexagonal en este caso.


Adecuación del tipo de red a la estructura. La red azul es la más adecuada en cada caso.


Por último, al combinar los grupos puntuales de los cristales (las 32 clases cristalinas) con las 14 redes de Bravais, nos encontramos con 230 maneras posibles de repetir un objeto finito (motivo) en el espacio de 3 dimensiones. A estos 230 modos de repetición de motivos en el espacio, que son compatibles con las clases cristalinas y con las redes de Bravais, se les denomina grupos espaciales, que representan las diferentes formas de adecuar la redes de Bravais con la simetría de las estructuras. El lector interesado debería consultar también el magnífico trabajo que, sobre los elementos de simetría presentes en los grupos espaciales, ofrecen Margaret Kastner, Timathy Medlock y Kristy Brown a través de este enlace de la Universidad de Bucknell.

32 clases cristalinas + 14 redes de Bravais = 230 Grupos Espaciales
 

Representación de la red de la pared de ladrillos, más acorde con el motivo (ladrillo) y sus elementos de simetría. Nótese que, en este caso, la simetría puntual del ladrillo y la puntual del nudo de red coinciden. El grupo espacial, si consideramos el espesor del ladrillo, es Cmm2. 

Estas 32 clases, 14 redes y 230 grupos espaciales pueden clasificarse, según la simetría mínima que albergan, en 7 sistemas cristalinos. La simetría mínima produce restricciones en los valores métricos (distancias y ángulos) que describen la forma y el tamaño de la red.

32 clases, 14 redes, 230 grupos espaciales / simetría cristalina = 7 sistemas cristalinos

Todo ello se resume en el siguiente esquema: 

Clases cristalinas
(Laue con *)
Redes cristalinas compatibles y
su simetría
Número de 
grupos espaciales
Simetría mínima
Restricción métrica
Sistema cristalino
1    1*
P
1
2
1    ó    1
ninguna
Triclínico
2     m     2/m*
P    C    (I)
  2/m
13
Un  2  ó   2
α=γ=90
Monoclínico
222    2mm    mmm*
P   C  (A,B)  I   F
mmm
59
Tres  2  ó  2
α=β=γ=90
Ortorrómbico
4      4     4/m* 
4mm    4222    42m   4/mmm*
P     I
4/mmm
68
Un  4  ó  4
a=b
α=β=γ=90
Tetragonal
23      m3* 
432     43m    m3m*
P     I     F
m3m
36
Cuatro  3
ó  3
a=b=c
α=β=γ=90
Cúbico
6       6     6m* 
6mm   622     62m    6/mmm*
P
6/mmm
27
Un  6  ó  6
a=b
α=β=90  γ=120
Hexagonal
3       3
3m     32    3m*
P      3m
(R)   6/mmm
25
Un  3  ó  3
a=b=c
α=β=γ 
(o Hexagonal)
Trigonal
Total: 32,  11*
14 independientes
230
   
7

Los 230 grupos espaciales vienen recogidos y descritos en las International Tables for X-ray Crystallography, en donde se encuentran clasificados según los grupos puntuales y los sistemas cristalinos. Una composición de parte de la información contenida en estas Tablas se muestra a continuación para el grupo espacial Cmm2, en el que la C significa que la estructura se describe con una red centrada en las caras separadas por el eje c, la primera m representa un plano de simetría perpendicular al eje a, la segunda al eje b, y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c.


Resumen de la información existente en International Tables for X-ray Crystallography para el grupo espacial Cmm2



Y este es otro ejemplo de grupo espacial (P21/c, centrosimétrico y basado en una red monoclínica primitiva), tal como aparece en
International Tables for X-ray Crystallography 
Grupo espacial P21/c

Resumen de la información existente en International Tables for X-ray Crystallography para el grupo espacial P21/c

Como ejemplo de la riqueza de información contenida en estas tablas, pueden obtenerse unas páginas de muestra pinchando aquí.

El lector avanzado puede alternativamente consultar:


¡Un cristalógrafo nunca se aburre! Trata de disfrutar de todo esto buscando la simetría de los objetos que se encuentran a tu alrededor y en particular en estos ejemplos de más abajo...
 

Ejemplos de estructuras con ladrillos

En cualquier caso, esto no acaba aquí y hay muchas más cosas que contar ...


Al siguiente apartado sugerido: Redes directa y recíproca
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